Der Winkel, der Kreis und das Rechteck
Durch einen Winkel werden Drehungen, Neigungen und Richtungsunterschiede beschrieben.
Gebildet wird ein Winkel aus zwei Strahlen (g und h, Halbgeraden), welche von einem gemeinsamen Punkt S (dem Scheitelpunkt) ausgehen. Die beiden Strahlen werden als Schenkel des Winkels bezeichnet.
Abb. 1: Ein Winkel
Winkel werden immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen, gelesen und bezeichnet. Jener Schenkel, der bei einer Drehung um den Punkt S den Winkel gegen den Uhrzeigersinn überstreicht, wird als 1.Schenkel bezeichnet, der andere als 2.Schenkel.
Die Größe eines Winkels wird in der Einheit Grad [°] angegeben. Eine gesamte Umdrehung entspricht 360°, eine halbe 180° und eine viertel Drehung 90°. Letztere Gradzahl wird auch rechter Winkel genannt.
Die Bezeichnung von Winkeln erfolgt meist durch
Kleine griechische Buchstaben:
α, alpha
β, beta
γ, gamma
δ, delta
ε, epsilon
ρ, rho
φ, phi
Auch weitere Schreibweisen werden für die Bezeichnung von Winkeln verwendet.
Durch die Angabe beider Schenkel g und h, wobei der erste Schenkel zuerst notiert wird.
Abb. 2: Andere Winkelschreibweisen
Durch die Angabe von drei Punkten, welche den Winkel einschließen. Zuerst wird ein Punkt des ersten Schenkels, danach der Scheitelpunkt und folgend ein Punkt des zweiten Schenkels notiert.
Abb. 3: Beschreibung des Winkels mit 3 Punkten
Winkel werden in verschiedene Kategorien eingeteilt.
Winkelkategorien
Die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Punkt M (Mittelpunkt) denselben Abstand r (Radius) haben, ergeben einen Kreis. Der Kreis beschreibt eine Linie und keine Fläche.
Der Abstand r ist die Verbindungslinie zwischen einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie k und dem Mittelpunkt M und wird als Radius bezeichnet. Er hat in jedem beliebigen Punkt auf der Kreislinie den gleichen Abstand zum Mittelpunkt.
Abb. 4: Parameter eines Kreises
Der Durchmesser d eines Kreises besitzt den doppelten Radius. Er verläuft durch den Mittelpunkt und zwei Punkte auf der Kreislinie. Der Durchmesser teilt einen Kreis in zwei Halbkreise. Es gilt:
d=2*r
Der Umfang u eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser: u ~ d. Beim Proportionalitätsfaktor handelt es sich um π (Pi) , wobei gilt: π = 3,14159 . Der Zusammenhang zwischen dem Umfang und dem Durchmesser eines Kreises ist gegeben durch:
u=d*\pi
Durch Umformen erhält man:
u=2*r\pi
Der Flächeninhalt A eines Kreises ist dem Quadrat des Radius proportional: A~ r2. Auch hier ist der Proportionalitätsfaktor π. Die Formel zur Berechnung der Kreisfläche lautet:
A=r^2*\pi
Formelsammlung Kreis
Bezeichnung
Formel
Umfang, u
u=d*\pi=2*r*\pi
Fläche, A
A=r^2*\pi
Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem die zwei gegenüberliegenden Seiten gleich groß und gleich lang sind. Bei einem Rechteck ist jeder der vier Innenwinkel ein rechter Winkel . Die Winkelsumme beträgt somit 4 * 90° = 360° .
Die Eckpunkte eines Rechtecks werden mit Großbuchstaben (A, B, C, D ) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. Die Bezeichnung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben. Die beiden längeren Seiten werden als Länge l definiert, die kürzeren als Breite b .
Die Diagonalen eines Rechtecks werden mit dem Buchstaben d beschriftet. Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander im Mittelpunkt M. Sie sind die kürzeste Verbindung zwischen den gegenüberliegenden Eckpunkten.
Abb. 5: Parameter des Rechtecks
Der Umfang u eines Rechtecks errechnet sich durch die Addition der vier Seitenlängen:
u=l+b+l+b=2l+2b
Durch Umformen ergibt sich eine Formel zur Berechnung der Länge l :
l=\frac{u-2b}{2}
Analog dazu lässt sich auch die Formel für der Breite b umformen.
Die Fläche A eines Rechtecks errechnet sich aus der Multiplikation der Breite mit der Länge:
A=l*b
Die Diagonalen d können auch als längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gesehen werden, sodass sich zu deren Berechnung der Satz des Pythagoras heranziehen lässt (siehe dazu auch „Das Dreieck und das Prisma“):
d^2=l^2+b^2
d=\sqrt{l^2+b^2}
Formelsammlung Rechteck
Bezeichnung
Formel
Winkelsumme
\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ
Umfang, u
u = 2l + 2b
Fläche, A
A = l * b
Diagonale, d
d=\sqrt{l^2+b^2}
